Параллелограмм менен Ромб
Параллелограмм жана ромб төрт бурчтуу. Бул фигуралардын геометриясы адамга миңдеген жылдар бою белгилүү болгон. Бул тема грек математиги Евклид тарабынан жазылган «Элементтер» китебинде ачык-айкын жазылган.
Параллелограмм
Параллелограмм төрт тарабы бар, карама-каршы жактары бири-бирине параллелдүү геометриялык фигура катары аныкталышы мүмкүн. Тагыраак айтканда, эки түгөй параллелдүү төрт бурчтук. Бул параллелдүү табият параллелограммдарга көптөгөн геометриялык мүнөздөмөлөрдү берет.
Төмөнкү геометриялык мүнөздөмөлөр табылса, төрт бурчтук - параллелограмм.
• Эки жуп карама-каршы тараптын узундугу бирдей. (AB=DC, AD=BC)
• Эки жуп карама-каршы бурчтун өлчөмү бирдей. ([латекс]D\калпак{A}B=B\калпак{C}D, A\калпак{D}C=A\калпак{B}C[/латекс])
• Эгерде чектеш бурчтар кошумча болсо [латекс]D\калпак{A}B + A\калпак{D}C=A\калпак{D}C + B\калпак{C}D=B\калпак {C}D + A\калпак{B}C=A\калпак{B}C + D\калпак{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Бири-бирине карама-каршы турган эки тарап параллелдүү жана узундугу боюнча бирдей. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагоналдар бири-бирин экиге бөлөт (AO=OC, BO=OD)
• Ар бир диагональ төрт бурчтукту эки туура келген үч бурчтукка бөлөт. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Мындан ары тараптардын квадраттарынын суммасы диагоналдардын квадраттарынын суммасына барабар. Бул кээде параллелограмм мыйзамы деп аталат жана физикада жана инженерияда кеңири таралган. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Төрт бурчтуктун параллелограмм экени аныкталгандан кийин жогорудагы мүнөздөмөлөрдүн ар бири касиет катары колдонулушу мүмкүн.
Параллелограммдын аянтын бир капталынын узундугу менен карама-каршы тарапка болгон бийиктиктин көбөйтүлүшү аркылуу эсептөөгө болот. Демек, параллелограммдын аянтындеп айтууга болот
Параллелограммдын аянты=негиз × бийиктик=AB×h
Параллелограммдын аянты жеке параллелограммдын формасына көз каранды эмес. Бул негиздин узундугуна жана перпендикуляр бийиктигине гана көз каранды.
Эгер параллелограммдын капталдарын эки вектор менен көрсөтүү мүмкүн болсо, аянтты эки жанаша вектордун вектордук көбөйтүндүсүнүн (кайчылаш көбөйтөмүнүн) чоңдугу менен алууга болот.
Эгер AB жана AD жактары тиешелүүлүгүнө жараша ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) жана ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) векторлору менен көрсөтүлсө, анда параллелограмм [латекс] сол | менен берилет \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/латекс], мында α - [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] жана [латекс]\overrightarrow{AD}[/latex] ортосундагы бурч.
Төмөндө параллелограммдын айрым өркүндөтүлгөн касиеттери;
• Параллелограммдын аянты үч бурчтуктун кайсы бир диагоналдары менен түзүлгөн аянтынан эки эсе көп.
• Параллелограммдын аянты ортодон өткөн каалаган сызык менен экиге бөлүнөт.
• Кандайдыр бир бузулбаган аффиндик трансформация параллелограммды башка параллелограмга алат
• Параллелограммдын айлануу симметриясы 2
• Параллелограммдын ички чекиттеринен капталдарына чейинки аралыктардын суммасы чекиттин жайгашкан жерине көз каранды эмес
Ромбус
Бардык тараптарынын узундугу бирдей болгон төрт бурчтук ромб деп аталат. Ал тең жактуу төрт бурчтуу деп да аталат. Ал оюн карталарындагыга окшош алмаз формасында деп эсептелет.
Ромб да параллелограммдын өзгөчө учуру. Бул төрт тарабы тең бирдей параллелограмм катары каралышы мүмкүн. Ал параллелограммдын касиеттеринен тышкары төмөнкү өзгөчө касиеттерге ээ.
• Ромбтун диагоналдары бири-бирин тик бурчта экиге бөлөт; диагоналдар перпендикуляр.
• Диагоналдар эки карама-каршы ички бурчтарды экиге бөлөт.
• Жанында турган эки тараптын узундугу бирдей.
Ромбтун аянтын параллелограммдагыдай ыкма менен эсептесе болот.
Параллелограмм менен ромбтун ортосунда кандай айырма бар?
• Параллелограмм жана ромб төрт бурчтуу. Ромб параллелограммдардын өзгөчө учуру.
• Каалаганынын аянтын формуланын негизи × бийиктиги аркылуу эсептесе болот.
• Диагоналдарды эске алуу менен;
– Параллелограммдын диагоналдары бири-бирин экиге, ал эми параллелограммды экиге бөлүп, эки туура келген үч бурчтукту түзөт.
– Ромбтун диагоналдары бири-бирин тик бурч кылып экиге бөлөт жана пайда болгон үч бурчтуктар тең капталдуу.
• Ички бурчтарды эске алуу менен;
– Параллелограммдын карама-каршы ички бурчтары бирдей өлчөмдө. Кошуна турган эки ички бурч кошумча болуп саналат.
– Ромбтун ички бурчтары диагоналдар менен экиге бөлүнгөн.
• Тараптарды эске алуу менен;
– Параллелограммда тараптардын квадраттарынын суммасы диагоналдын квадраттарынын суммасына барабар (Параллелограмм мыйзамы).
– Ромбда төрт тарабы тең бирдей болгондуктан, бир капталдын төрт эселенген квадраты диагоналынын квадраттарынын суммасына барабар.
