Параллелограмм менен тик бурчтук
Параллелограмм жана тик бурчтук төрт бурчтуу. Бул фигуралардын геометриясы адамга миңдеген жылдар бою белгилүү болгон. Бул тема грек математиги Евклид тарабынан жазылган «Элементтер» китебинде ачык-айкын жазылган.
Параллелограмм
Параллелограмм төрт тарабы бар, карама-каршы жактары бири-бирине параллелдүү геометриялык фигура катары аныкталышы мүмкүн. Тагыраак айтканда, эки түгөй параллелдүү төрт бурчтук. Бул параллелдүү табият параллелограммдарга көптөгөн геометриялык мүнөздөмөлөрдү берет.
Төмөнкү геометриялык мүнөздөмөлөр табылса, төрт бурчтук - параллелограмм.
• Эки жуп карама-каршы тараптын узундугу бирдей. (AB=DC, AD=BC)
• Эки жуп карама-каршы бурчтун өлчөмү бирдей. ([латекс]D\калпак{A}B=B\калпак{C}D, A\калпак{D}C=A\калпак{B}C[/латекс])
• Эгерде чектеш бурчтар кошумча болсо [латекс]D\калпак{A}B + A\калпак{D}C=A\калпак{D}C + B\калпак{C}D=B\калпак {C}D + A\калпак{B}C=A\калпак{B}C + D\калпак{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Бири-бирине карама-каршы турган эки тарап параллелдүү жана узундугу боюнча бирдей. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагоналдар бири-бирин экиге бөлөт (AO=OC, BO=OD)
• Ар бир диагональ төрт бурчтукту эки туура келген үч бурчтукка бөлөт. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Мындан ары тараптардын квадраттарынын суммасы диагоналдардын квадраттарынын суммасына барабар. Бул кээде параллелограмм мыйзамы деп аталат жана физикада жана инженерияда кеңири таралган. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Төрт бурчтуктун параллелограмм экени аныкталгандан кийин жогорудагы мүнөздөмөлөрдүн ар бири касиет катары колдонулушу мүмкүн.
Параллелограммдын аянтын бир капталынын узундугу менен карама-каршы тарапка болгон бийиктиктин көбөйтүлүшү аркылуу эсептөөгө болот. Демек, параллелограммдын аянтындеп айтууга болот
Параллелограммдын аянты=негиз × бийиктик=AB×h
Параллелограммдын аянты жеке параллелограммдын формасына көз каранды эмес. Бул негиздин узундугуна жана перпендикуляр бийиктигине гана көз каранды.
Эгер параллелограммдын капталдарын эки вектор менен көрсөтүү мүмкүн болсо, аянтты эки жанаша вектордун вектордук көбөйтүндүсүнүн (кайчылаш көбөйтөмүнүн) чоңдугу менен алууга болот.
Эгер AB жана AD жактары тиешелүүлүгүнө жараша ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) жана ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) векторлору менен көрсөтүлсө, анда параллелограмм [латекс] сол | менен берилет \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], мында α - [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] жана [латекс]\overrightarrow{AD}[/latex] ортосундагы бурч.
Төмөндө параллелограммдын айрым өркүндөтүлгөн касиеттери;
• Параллелограммдын аянты үч бурчтуктун кайсы бир диагоналдары менен түзүлгөн аянтынан эки эсе көп.
• Параллелограммдын аянты ортодон өткөн каалаган сызык менен экиге бөлүнөт.
• Кандайдыр бир бузулбаган аффиндик трансформация параллелограммды башка параллелограмга алат
• Параллелограммдын айлануу симметриясы 2
• Параллелограммдын ички чекиттеринен капталдарына чейинки аралыктардын суммасы чекиттин жайгашкан жерине көз каранды эмес
Төрт бурчтук
Төрт бурчтуу төрт бурчтук тик бурчтук деп аталат. Бул параллелограммдын өзгөчө учуру, анда каалаган эки капталынын ортосундагы бурчтар тик бурч болуп саналат.
Параллелограммдын бардык касиеттеринен тышкары, тик бурчтуктун геометриясын кароодо кошумча мүнөздөмөлөрдү таанууга болот.
• Чокулардагы ар бир бурч тик бурч.
• Диагоналдардын узундугу бирдей жана алар бири-бирин экиге бөлөт. Демек, экиге бөлүнгөн бөлүктөрдүн узундугу да бирдей.
• Диагоналдардын узундугун Пифагордун теоремасы аркылуу эсептөөгө болот:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Аймактын формуласы узундук менен тууранын көбөйтүндүсүнө чейин азайтат.
Тик бурчтуктун аянты=узундугу × туурасы
• Көптөгөн симметриялык касиеттер тик бурчтукта кездешет, мисалы;
– Төрт бурчтук циклдүү, мында бардык чокулары тегеректин периметрине жайгаштырылышы мүмкүн.
– Бул тең бурчтуу, мында бардык бурчтар бирдей.
– Бул изогоналдык, мында бардык бурчтар бир симметрия орбитасында жайгашкан.
– Анын чагылтуу симметриясы да, айлануу симметриясы да бар.
Параллелограмм менен тик бурчтуктун ортосунда кандай айырма бар?
• Параллелограмм жана тик бурчтук төрт бурчтуу. Төрт бурчтук - параллелограммдардын өзгөчө учуру.
• Каалаганынын аянтын формуланын негизи × бийиктиги аркылуу эсептесе болот.
• Диагоналдарды эске алуу менен;
– Параллелограммдын диагоналдары бири-бирин экиге, ал эми параллелограммды экиге бөлүп, эки туура келген үч бурчтукту түзөт.
– тик бурчтуктун диагоналдарынын узундугу бирдей жана бири-бирин экиге бөлөт; экиге бөлүнгөн бөлүктөрдүн узундугу бирдей. Диагоналдар тик бурчтукту эки туура келген тик бурчтукка бөлөт.
• Ички бурчтарды эске алуу менен;
– Параллелограммдын карама-каршы ички бурчтары бирдей өлчөмдө. Эки чектеш ички бурчтар кошумча болуп саналат
– Төрт бурчтуктун бардык төрт ички бурчтары тик бурчтар.
• Тараптарды эске алуу менен;
– Параллелограммда тараптардын квадраттарынын суммасы диагоналдын квадраттарынын суммасына барабар (Параллелограмм мыйзамы)
– Төрт бурчтуктарда эки чектеш капталынын квадраттарынын суммасы учтарындагы диагоналынын квадратына барабар. (Пифагордун эрежеси)
