Гипербола жана Эллипс
Конусту ар кандай бурчта кескенде, конустун чети менен ар кандай ийри сызыктар белгиленет. Бул ийри сызыктар көбүнчө конус бөлүктөрү деп аталат. Тагыраак айтканда, конус кесилиши – бул туура тегерек конус бетинин тегиздик бети менен кесилишинен алынган ийри сызык. Кесилиштин ар кандай бурчтарында ар кандай конус кесилиштери берилет.
Гипербола да, эллипс да конус кесилиштери жана алардын айырмаларын бул контекстте оңой салыштырууга болот.
Эллипс жөнүндө көбүрөөк маалымат
Конустук бет менен тегиздик бетинин кесилишинде жабык ийри сызык пайда болгондо, ал эллипс деп аталат. Ал нөл менен бирдин ортосунда эксцентриситетке ээ (0<e<1). Аны эки туруктуу чекиттен чекитке чейинки аралыктардын суммасы туруктуу бойдон кала тургандай тегиздиктеги чекиттер жыйындысынын локусу катары да аныктоого болот. Бул эки туруктуу чекиттер "фокус" деп аталат. (Эсиңизде болсун; башталгыч математика класстарында эллипс эки туруктуу төөнөгүчкө байланган жип же жип цикли жана эки төөнөгүч аркылуу тартылат.)
Фокустар аркылуу өткөн сызык сегмент башкы огу, ал эми эллипстин борборуна перпендикуляр болгон жана кичи огу деп аталат. Ар бир огу боюнча диаметрлер туурасынан туурасынан диаметри жана конъюгат диаметри катары белгилүү. Негизги огунун жарымы жарым чоң огу, ал эми кичи огунун жарымы жарым-кичи огу катары белгилүү.
Ар бир чекит F1 жана F2 эллипстин фокустары катары белгилүү жана F1 + PF2 =2a, мында P эллипстеги эркин чекит. Эксцентриситет e фокустан ыктыярдуу чекитке чейинки аралык (PF 2) менен директрисадан (PD) каалаган чекитке перпендикулярдык аралыктын ортосундагы катыш катары аныкталат. Ал ошондой эле эки фокус менен жарым чоң огтун ортосундагы аралыкка барабар: e=PF/PD=f/a
Жарым чоң огу менен жарым кичи огу декарт огу менен дал келгенде эллипстин жалпы теңдемеси төмөндөгүдөй берилет.
x2/a2 + y2/b2=1
Эллипстин геометриясынын, өзгөчө физикада көп колдонулушу бар. Күн системасындагы планеталардын орбиталары бир фокус катары күн менен эллиптикалык. Антенналар жана акустикалык түзүлүштөр үчүн рефлекторлор эллиптикалык формада жасалган. Фокустун ар кандай эмиссиясы башка фокуска жакындайт.
Гипербола жөнүндө көбүрөөк маалымат
Гипербола да конустук кесим, бирок анын учу ачык. Гипербола термини сүрөттө көрсөтүлгөн эки ажыратылган ийри сызыктарга тиешелүү. Гиперболанын колдору же бутактары эллипс сыяктуу жабылбастан, чексиздикке чейин уланат.
Эки бутактын ортосундагы эң кыска аралыкка ээ болгон чекиттер чокулар деп аталат. Чокулардан өткөн сызык башкы огу же туурасынан кеткен огу катары каралат жана ал гиперболанын негизги огу болуп саналат. Параболанын эки очогу да чоң огунда жатат. Эки чокунун ортосундагы сызыктын ортосу борбор, ал эми сызык сегментинин узундугу жарым чоң огу болуп саналат. Жарым чоң огтун перпендикуляр биссектрисасы башка башкы огу, ал эми гиперболанын эки ийри сызыгы бул огтун айланасында симметриялуу. Параболанын эксцентриситети бирден чоң; e > 1.
Эгер башкы октор декарт октору менен дал келсе, гиперболанын жалпы теңдемеси төмөнкүдөй болот:
x2/a2 – y2/b2=1,
мында a - жарым чоң огу, ал эми b - борбордон фокуска чейинки аралык.
Учтары ачык болгон гиперболалар х огуна караган чыгыш-батыш гиперболалар деп аталат. Ушундай эле гиперболаларды у огунда да алууга болот. Булар y огу гиперболалар деп аталат. Мындай гиперболалар үчүн теңдемеформасында болот
y2/a2 – x2/b2=1
Гипербола менен Эллипстин ортосунда кандай айырма бар?
• Эллипс да, гипербола да конус кесилиштери, бирок эллипс жабык ийри сызык, ал эми гипербола эки ачык ийри сызыктан турат.
• Демек, эллипстин периметри чектүү, ал эми гиперболанын чексиз узундугу бар.
• Экөө тең чоң жана кичи огунун айланасында симметриялуу, бирок директриканын абалы ар бир учурда ар башка. Эллипсте ал жарым чоң огтун сыртында, ал эми гиперболада жарым чоң огунда жатат.
• Эки конус бөлүктүн эксцентриситеттери ар башка.
0 <eЭлипс < 1
eГипербола > 0
• Эки ийри сызыктын жалпы теңдемеси окшош, бирок алар ар башка.
• Чоң огтун перпендикуляр биссектрисасы ийри сызыкты эллипсте кесип өтөт, бирок гиперболада эмес.
(Сүрөттөр булагы: Wikipedia)
