Интеграция менен Жыйынтыктын ортосундагы айырма

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 13:44

Интеграция жана Жыйынтык

Жогорку мектептеги математикада интеграция жана суммалоо көбүнчө математикалык операцияларда кездешет. Алар ар кандай куралдар жана ар кандай кырдаалдарда колдонулат окшойт, бирок алар абдан жакын мамиледе.

Суммация жөнүндө көбүрөөк маалымат

Суммация – бул сандардын ырааттуулугун кошуу операциясы жана операция көбүнчө грек тамгасы менен белгиленет чоң сигма Σ. Ал сумманы кыскартуу үчүн колдонулат жана ырааттуулуктун суммасына/жалпысына барабар. Алар көбүнчө чексиз тизмектер болуп саналган катарды көрсөтүү үчүн колдонулат. Алар векторлордун, матрицалардын же көп мүчөлөрдүн суммасын көрсөтүү үчүн да колдонулушу мүмкүн.

Жалпылоо, адатта, жалпы терминге ээ катар сыяктуу жалпы термин менен көрсөтүлө турган бир катар маанилер үчүн жасалат. Жыйынтыктын башталышы жана аяккы чекити, тиешелүүлүгүнө жараша, жыйынтыктын төмөнкү жана жогорку чеги катары белгилүү.

Мисалы, катардын суммасы a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n – a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, аны ∑ _{катары кошуу белгилөө аркылуу оңой эле көрсөтүүгө болот i=1} a_{i; i жыйынтыктоо индекси деп аталат.}

Колдонмонун негизинде жыйынтыктоо үчүн көптөгөн вариациялар колдонулат. Кээ бир учурларда, жогорку чек жана төмөнкү чек аралык же диапазон катары берилиши мүмкүн, мисалы ∑_1≤i≤100 a_i жана ∑_{i∈[1, 100]} a_i Же ∑_{i∈P сыяктуу сандар жыйындысы катары берилиши мүмкүн} a_{i, мында P аныкталган топтом.}

Кээ бир учурларда эки же андан көп сигма белгилерин колдонсо болот, бирок аларды төмөнкүдөй жалпылаштырууга болот; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Ошондой эле, суммалоо көптөгөн алгебралык эрежелерге ылайык келет. Кыскартылган операция кошумча болгондуктан, алгебранын жалпы эрежелеринин көбү суммалардын өзүнө жана суммалоодо сүрөттөлгөн айрым терминдерге колдонулушу мүмкүн.

Интеграция жөнүндө көбүрөөк маалымат

Интеграция дифференциациянын тескери процесси катары аныкталат. Бирок анын геометриялык көрүнүшүндө аны функциянын ийри сызыгы жана огу менен курчалган аймак катары да кароого болот. Демек, аянтты эсептөө диаграммада көрсөтүлгөндөй белгилүү бир интегралдын маанисин берет.

Сүрөт булагы:

Белгилүү интегралдын мааниси чындыгында ийри сызык менен огтун ичиндеги кичинекей тилкелердин суммасы болуп саналат. Ар бир тилкенин аянты каралып жаткан огунун чекитиндеги бийиктиги × туурасы болуп саналат. Туурасы - бул биз тандап ала турган маани, айталы, ∆x. Ал эми бийиктик болжолдуу түрдө функциянын каралып жаткан чекитиндеги мааниси, айталы, f (x_{i). Диаграммадан көрүнүп тургандай, тилкелер канчалык кичине болсо, тилкелер чектелген аймакка жакшыраак туура келет, демек, маани жакшыраак жакындайт.}

Ошентип, жалпысынан a жана b чекиттеринин ортосундагы I аныкталган интеграл (б.а. [a, b] аралыкта, a<b) I ≅ f (x_{1) катары берилиши мүмкүн.)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, мында n – тилкелердин саны (n=(b-a)/∆x). Аймактын бул суммасын кошуу белгилемеси менен оңой эле көрсөтсө болот, анткени I ∑}i=1 _{f (x}i)∆x.∆x кичине болгондо жакындатуу жакшы болгондуктан, ∆x→0 болгондо маанини эсептей алабыз. Ошондуктан, I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Жогорудагы концепциянын жалпылоосу катары, i тарабынан индекстелген каралып жаткан интервалдын негизинде ∆x тандай алабыз (позициянын негизинде аймактын туурасын тандоо). Андаалабыз

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Бул [a, b] интервалындагы f (x) функциясынын Рейман интегралы катары белгилүү. Бул учурда a жана b интегралдын жогорку жана төмөнкү чеги катары белгилүү. Рейман интегралы – бардык интеграциялоо ыкмаларынын негизги формасы.

Негизи интегралдоо тик бурчтуктун туурасы чексиз кичине болгондо аймактын суммасы болуп саналат.

Интеграция менен Жыйынтыктын ортосунда кандай айырма бар?

• Жыйынтыктоо – бул сандар ырааттуулугун кошуу. Адатта, сумма бул формада берилет ∑_i=1 a_{i үлгүсү бар жана жалпы термин менен көрсөтүлүшү мүмкүн.}

• Интеграция негизинен функциянын ийри сызыгы, огу жана жогорку жана төмөнкү чектери менен чектелген аймак. Бул аймак чектелген аймакка кирген бир топ азыраак аймактардын суммасы катары берилиши мүмкүн.

• Жыйынтыктоо үстүнкү жана төмөнкү чеги менен дискреттик маанилерди камтыйт, ал эми интеграция үзгүлтүксүз маанилерди камтыйт.

• Интеграцияны жалпылоонун өзгөчө формасы катары чечмелесе болот.

• Сандык эсептөө ыкмаларында интеграция ар дайым жыйынтык катары аткарылат.