Ассоциативдик и Commutative
Күндөлүк жашообузда кандайдыр бир нерсенин өлчөмүн алуу үчүн сандарды колдонушубуз керек. Азык-түлүк дүкөнүндө, май куюучу жайда, жада калса ашканада эки же андан көп санды кошуу, кемитүү жана көбөйтүү керек. Биздин практикадан биз бул эсептөөлөрдү эч кыйынчылыксыз жасайбыз. Биз бул операцияларды эмне үчүн ушундай кылып жасаганыбызды эч качан байкабайбыз жана сурабайбыз. Же эмне үчүн бул эсептөөлөр башка жол менен жүргүзүлүшү мүмкүн эмес. Жооп алгебранын математикалык тармагында бул операциялар кандайча аныкталганында жашырылган.
Алгебрада эки чоңдукту камтыган операция (мисалы, кошуу) бинардык операция катары аныкталат. Тагыраак айтканда, бул көптүктүн эки элементинин ортосундагы операция жана бул элементтер "операнд" деп аталат. Математикадагы көптөгөн операцияларды, анын ичинде жогоруда айтылган арифметикалык операцияларды жана көптүктөр теориясында, сызыктуу алгебрада жана математикалык логикада жолуккан операцияларды бинардык амалдар катары аныктоого болот.
Белгилүү экилик операцияга тиешелүү башкаруучу эрежелердин жыйындысы бар. Ассоциативдик жана коммутативдик касиеттер бинардык операциялардын эки негизги касиеттери.
Коммутациялык менчик жөнүндө көбүрөөк маалымат
А жана В элементтеринде ⊗ символу менен белгиленген кээ бир бинардык операция аткарылды дейли. Эгерде операнддардын тартиби операциянын натыйжасына таасирин тийгизбесе, анда операция коммутативдик деп аталат. б.а. эгерде A ⊗ B=B ⊗ A болсо, анда операция коммутативдик болуп саналат.
Кошуу жана көбөйтүү арифметикалык амалдары коммутативдик болуп саналат. Сандардын кошулган же көбөйтүлгөн тартиби акыркы жоопко таасирин тийгизбейт:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Бирок бөлүү тартибинде өзгөрүү экинчисинин карама-каршылыгын берет, ал эми кемитүүдө өзгөртүү экинчисинин терс маанисин берет. Ошондуктан, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 жана 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 жана 5 ÷ 4=1,25 [бул учурда A, B ≠ 1 жана 0]
Чынында, кемитүү антикоммутивдүү деп айтылат; мында A – B=– (B – A).
Ошондой эле логикалык байланыштар, конъюнкция, дизъюнкция, импликация жана эквиваленттүүлүк да алмашуучу. Чындык функциялары да коммутативдик. Белгиленген операциялар союзу жана кесилиши коммутативдик болуп саналат. Кошуу жана векторлордун скалярдык көбөйтүндүсү да коммутативдик болуп саналат.
Бирок векторду кемитүү жана вектордук көбөйтүндү алмаштыруучу эмес (эки вектордун вектордук көбөйтүндүсү антикоммутивдүү). Матрицаны кошуу алмаштыруучу, бирок көбөйтүү жана кемитүү алмаштыруучу эмес.(Эки матрицаны көбөйтүү өзгөчө учурларда алмаштырылышы мүмкүн, мисалы, матрицаны анын тескери же иденттүүлүк матрицасы менен көбөйтүү; бирок матрицалар бирдей өлчөмдө болбосо, албетте, матрицалар алмаштырылбайт)
Ассоциативдик менчик жөнүндө көбүрөөк маалымат
Оператордун эки же андан көп жолу болгон учурда аткаруу тартиби натыйжага таасирин тийгизбесе, бинардык операция ассоциативдик деп аталат. A, B жана C элементтерин жана бинардык операцияны ⊗ карап көрөлү. Эгерде операция ⊗ ассоциативдик деп айтылат
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Негизги арифметикалык функциялардан кошуу жана көбөйтүү гана ассоциативдик болуп саналат.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Кемитүү жана бөлүү ассоциативдик эмес;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 жана (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 жана (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Логикалык туташтыргычтар дизъюнкция, конъюнкция жана эквиваленттүүлүк ассоциативдик, ошондой эле коюлган операциялардын биримдиги жана кесилиши. Матрица жана вектордук кошуу ассоциативдик болуп саналат. Векторлордун скалярдык көбөйтүндүсү ассоциативдик, ал эми вектордук көбөйтүндүсү андай эмес. Матрицаны көбөйтүү өзгөчө шарттарда гана ассоциативдик болот.
Коммутативдик жана Ассоциативдик менчиктин ортосунда кандай айырма бар?
• Ассоциативдик менчик да, алмаштыруучу касиет да бинардык операциялардын өзгөчө касиеттери болуп саналат жана айрымдары аларды канааттандырса, кээ бири канааттандырбайт.
• Бул касиеттерди математикадагы алгебралык операциялардын жана башка бинардык операциялардын көп формаларында көрүүгө болот, мисалы, көптүктөр теориясындагы кесилиши жана биригүү же логикалык байланыштар.
• Коммутативдик жана ассоциативдик ортосундагы айырма: коммутативдик касиет элементтердин тартиби акыркы натыйжаны өзгөртпөйт, ал эми ассоциативдик касиет операция аткарылган тартипте акыркы жоопко таасир этпейт деп айтат..
