Ыктималдуулукту бөлүштүрүү функциясы менен Ыктымалдуулук тыгыздык функциясы
Ыктымалдуулук – окуянын болуу ыктымалдыгы. Бул идея абдан кеңири таралган жана биз мүмкүнчүлүктөрүбүздү, транзакцияларыбызды жана башка көптөгөн нерселерди баалоодо күнүмдүк жашоодо көп колдонулат. Бул жөнөкөй концепцияны кеңири масштабдагы окуяларга жайылтуу бир аз кыйыныраак. Мисалы, биз лотереядан утуп алуу мүмкүнчүлүгүн оңой эле аныктай албайбыз, бирок ыргытылган сөөктө алтыдан биринин алтынчы санын алуу ыктымалдыгы бар деп айтуу ыңгайлуу, тескерисинче интуитивдик.
Болушу мүмкүн болгон окуялардын саны көбөйүп баратканда же жеке мүмкүнчүлүктөрдүн саны көп болгондо, бул жөнөкөй ыктымалдык идеясы ишке ашпай калат. Ошондуктан, татаалдыгы жогору маселелерге кайрылаардан мурун ага бекем математикалык аныктама берилиши керек.
Бир кырдаалда боло турган окуялардын саны көп болгондо, ар бир окуяны ыргытылган чүчүкулак мисалындагыдай өзүнчө кароо мүмкүн эмес. Демек, окуялардын бүтүндөй жыйындысы кокус өзгөрмө түшүнүгүн киргизүү менен жыйынтыкталат. Бул ошол конкреттүү кырдаалда (же үлгү мейкиндигинде) ар кандай окуялардын маанилерин кабыл ала турган өзгөрмө. Бул жагдайдагы жөнөкөй окуяларга математикалык маанини берет жана окуяны чечүүнүн математикалык жолун берет. Тагыраак айтканда, кокустук чоңдук – бул үлгү мейкиндигинин элементтеринин үстүнөн реалдуу маани функциясы. Кокус өзгөрмөлөр дискреттик же үзгүлтүксүз болушу мүмкүн. Алар көбүнчө англис алфавитинин баш тамгалары менен белгиленет.
Ыктималдуулукту бөлүштүрүү функциясы (же жөн эле, ыктымалдык бөлүштүрүү) ар бир окуя үчүн ыктымалдык маанилерин дайындаган функция; б.а. кокус өзгөрмө ала турган маанилердин ыктымалдыктарына болгон мамилени камсыздайт. Ыктымалдуулукту бөлүштүрүү функциясы дискреттик кокустук чоңдуктар үчүн аныкталган.
Ыктымалдуулук тыгыздыгы функциясы үзгүлтүксүз кокус чоңдуктар үчүн ыктымалдык бөлүштүрүү функциясынын эквиваленти, белгилүү бир кокустук чоңдуктун белгилүү бир маанини кабыл алуу ыктымалдыгын берет.
Эгер X дискреттүү кокустук чоңдук болсо, X диапазонундагы ар бир х үчүн f (x)=P (X=x) катары берилген функция ыктымалдык бөлүштүрүү функциясы деп аталат. Функция, эгерде функция төмөнкү шарттарга жооп бергенде гана ыктымалдык бөлүштүрүү функциясы катары кызмат кыла алат.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Чыныгы сандардын жыйындысы боюнча аныкталган f (x) функциясы X үзгүлтүксүз кокустук чоңдуктун ыктымалдык тыгыздык функциясы деп аталат, эгерде жана ушундай шартта гана, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx a жана b реалдуу константалары үчүн.
Ыктымалдуулуктун тыгыздыгы функциясы төмөнкү шарттарга да жооп бериши керек.
1. f (x) ≥ 0 бардык x үчүн: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Ыктымалдуулуктарды бөлүштүрүү функциясы да, ыктымалдык тыгыздык функциясы да үлгү мейкиндигинде ыктымалдыктардын бөлүштүрүлүшүн көрсөтүү үчүн колдонулат. Адатта, алар ыктымалдык бөлүштүрүү деп аталат.
Статистикалык моделдөө үчүн стандарттык ыктымалдык тыгыздык функциялары жана ыктымалдык бөлүштүрүү функциялары алынган. Нормалдуу бөлүштүрүү жана стандарттык нормалдуу бөлүштүрүү үзгүлтүксүз ыктымалдык бөлүштүрүүнүн мисалдары болуп саналат. Биномдук бөлүштүрүү жана Пуассон бөлүштүрүү дискреттик ыктымалдык бөлүштүрүүнүн мисалдары болуп саналат.
Ыктымалдуулуктун бөлүштүрүлүшү менен Ыктымалдуулуктун тыгыздыгы функциясынын ортосунда кандай айырма бар?
• Ыктымалдуулукту бөлүштүрүү функциясы жана ыктымалдык тыгыздык функциясы ар бир элементке тиешелүү ыктымалдык маанисин дайындоо үчүн үлгү мейкиндигинде аныкталган функциялар.
• Ыктымалдуулуктун бөлүштүрүү функциялары дискреттик кокустук чоңдор үчүн, ал эми ыктымалдык тыгыздык функциялары үзгүлтүксүз кокус чоңдуктар үчүн аныкталган.
• Ыктымалдуулуктун чоңдуктарынын бөлүштүрүлүшү (мисалы, ыктымалдуулук бөлүштүрүлүшү) ыктымалдык тыгыздык функциясы жана ыктымалдык бөлүштүрүү функциясы менен эң жакшы сүрөттөлөт.
• Ыктымалдуулукту бөлүштүрүү функциясын таблицада маанилер катары көрсөтсө болот, бирок бул ыктымалдык тыгыздык функциясы үчүн мүмкүн эмес, анткени өзгөрмө үзгүлтүксүз.
• График түзүлгөндө, ыктымалдыктын бөлүштүрүлүшү функциясы тилке графигин берет, ал эми ыктымалдык тыгыздык функциясы ийри сызыкты берет.
• Ыктымалдуулуктун бөлүштүрүү функциясынын тилкелеринин бийиктиги/узундугу 1ге, ал эми ыктымалдык тыгыздык функциясынын ийри сызыгынын астындагы аймак 1ге кошулушу керек.
• Эки учурда тең функциянын бардык маанилери терс болбошу керек.
