Сызыктуу жана сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелер
Кеминде бир дифференциалдык коэффициентти же белгисиз өзгөрмөнүн туундусун камтыган теңдеме дифференциалдык теңдеме деп аталат. Дифференциалдык теңдеме сызыктуу же сызыктуу эмес болушу мүмкүн. Бул макаланын көлөмү сызыктуу дифференциалдык теңдеме деген эмне, сызыктуу эмес дифференциалдык теңдеме деген эмне жана сызыктуу жана сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелердин ортосунда кандай айырма бар экенин түшүндүрүү.
18-кылымда Ньютон жана Лейбниц сыяктуу математиктер эсептөөнү иштеп чыккандан бери дифференциалдык теңдеме математиканын тарыхында маанилүү роль ойногон. Дифференциалдык теңдемелердин колдонулуш чөйрөсү болгондуктан математикада чоң мааниге ээ. Физика, инженерия, химия, статистика, финансылык анализ же биология болобу (тизме чексиз) болобу, дүйнөдөгү ар кандай сценарийди же окуяны түшүндүрүү үчүн биз иштеп чыккан ар бир моделдин өзөгүн дифференциалдык теңдемелер түзөт. Чынында, эсептөөлөр түптөлгөн теорияга айланганга чейин, табияттагы кызыктуу маселелерди талдоо үчүн ылайыктуу математикалык куралдар жеткиликсиз болчу.
Эсептөөнүн белгилүү бир колдонуусунан алынган теңдемелер өтө татаал жана кээде чечилбей калышы мүмкүн. Бирок, биз чече ала тургандары бар, бирок окшош жана баш аламан көрүнүшү мүмкүн. Демек, аныктоону жеңилдетүү үчүн дифференциалдык теңдемелер математикалык жүрүм-туруму боюнча категорияларга бөлүнөт. Сызыктуу жана сызыктуу эмес категориялар бири болуп саналат. Сызыктуу жана сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелердин ортосундагы айырманы аныктоо маанилүү.
Сызыктуу дифференциалдык теңдеме деген эмне?
Айталы, f: X→Y жана f(x)=y, белгисиз y функциясынын сызыктуу эмес мүчөлөрү жок дифференциалдык теңдеме жана анын туундулары сызыктуу дифференциалдык теңдеме катары белгилүү.
Бул y y2, y3, … сыяктуу жогорураак индекстик терминдерге жана туундулардын эселиктерине ээ болбошу шартын коёт.катары
Ошондой эле Sin y, e y ^-2 же ln y сыяктуу сызыктуу эмес терминдерди камтышы мүмкүн эмес. Бул форманы алат,
мында y жана g – х функциялары. Теңдеме n тартиптеги дифференциалдык теңдеме, ал эң жогорку даражадагы туундунун индекси.
Сызыктуу дифференциалдык теңдемеде дифференциалдык оператор сызыктуу оператор, ал эми чечимдер вектордук мейкиндикти түзөт. Чечимдердин жыйындысынын сызыктуу мүнөзүнүн натыйжасында чечимдердин сызыктуу айкалышы да дифференциалдык теңдеменин чечими болуп саналат. Башкача айтканда, эгерде y1 жана y2 дифференциалдык теңдеменин чечимдери болсо, анда C1 y 1+ C2 y2 да чечим болуп саналат.
Теңдеменин сызыктуулугу классификациянын бир гана параметри болуп саналат жана аны андан ары бир тектүү же бир тектүү эмес жана кадимки же жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелерге классификациялоого болот. Эгерде функция g=0 болсо, анда теңдеме сызыктуу бир тектүү дифференциалдык теңдеме болот. Эгерде f эки же андан көп көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн функциясы болсо (f: X, T→Y) жана f(x, t)=y, анда теңдеме сызыктуу жарым-жартылай дифференциалдык теңдеме болуп саналат.
Дифференциалдык теңдемени чечүү ыкмасы дифференциалдык теңдеменин түрүнө жана коэффициенттерине көз каранды. Эң оңой учур коэффициенттер туруктуу болгондо пайда болот. Бул иштин классикалык мисалы Ньютондун экинчи кыймыл мыйзамы жана анын ар кандай колдонулушу. Ньютондун экинчи мыйзамы туруктуу коэффициенттери бар экинчи даражадагы сызыктуу дифференциалдык теңдемени чыгарат.
Сызыктуу эмес дифференциалдык теңдеме деген эмне?
Сызыктуу эмес терминдерди камтыган теңдемелер сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелер деп аталат.
Жогорудагылардын баары сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелер. Сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелерди чечүү кыйын, ошондуктан туура чечимди алуу үчүн кылдат изилдөө керек. Жарымсыз дифференциалдык теңдемелерде теңдемелердин көбүнүн жалпы чечими жок. Ошондуктан, ар бир теңдеме өз алдынча каралышы керек.
Навье-Стокс теңдемеси жана суюктуктун динамикасындагы Эйлердин теңдемеси, Эйнштейндин жалпы салыштырмалуулуктун талаа теңдемелери белгилүү сызыктуу эмес жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелер. Кээде Лагранж теңдемесин өзгөрмөлүү системага колдонуу сызыктуу эмес жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелердин системасына алып келиши мүмкүн.
Сызыктуу жана сызыктуу эмес дифференциалдык теңдемелердин ортосунда кандай айырма бар?
• Белгисиз же көз каранды өзгөрмөнүн сызыктуу мүчөлөрүнө жана анын туундуларына гана ээ болгон дифференциалдык теңдеме сызыктуу дифференциалдык теңдеме деп аталат. Ал индекстин көз каранды өзгөрмөлүүлүгү 1ден жогору болгон терминге ээ эмес жана анын туундуларынын бир да эселенген санын камтыбайт. Ал көз каранды өзгөрмөгө карата тригонометриялык функциялар, көрсөткүчтүк функция жана логарифмдик функциялар сыяктуу сызыктуу эмес функцияларга ээ боло албайт. Жогоруда айтылган терминдерди камтыган бардык дифференциалдык теңдеме сызыктуу эмес дифференциалдык теңдеме болуп саналат.
• Сызыктуу дифференциалдык теңдемелердин чечимдери вектордук мейкиндикти түзөт жана дифференциалдык оператор да вектор мейкиндигинде сызыктуу оператор болуп саналат.
• Сызыктуу дифференциалдык теңдемелердин чечимдери салыштырмалуу жеңил жана жалпы чечимдер бар. Сызыктуу эмес теңдемелер үчүн көпчүлүк учурда жалпы чечим жок жана чечим конкреттүү маселе болушу мүмкүн. Бул сызыктуу теңдемелерге караганда чечимди бир топ кыйындатат.
