Power Series менен Taylor Series ортосундагы айырма

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 13:44

Power Series vs Taylor Series

Математикада чыныгы ырааттуулук – бул реалдуу сандардын иреттелген тизмеси. Формалдуу түрдө бул натурал сандардын жыйындысынан чыныгы сандар жыйындысына чейинки функция. Эгерде a_n ырааттуулуктун n^th мүчөсү болсо, ырааттуулукту ₁ менен же менен белгилейбиз., a ₂, …, a_n, …. Мисалы, 1, ½, ⅓, …, ^{1 ырааттуулугун карап көрөлү.} / _{n, …. Аны {1/n} катары белгилесе болот.}

Катарларды ырааттуулук менен аныктоого болот. Катар - тизмектин шарттарынын суммасы. Демек, ар бир ырааттуулук үчүн, тиешелүү ырааттуулук бар жана тескерисинче. Эгер {a_{n} каралып жаткан ырааттуулук болсо, анда ал ырааттуулук менен түзүлгөн катар төмөнкүдөй көрсөтүлүшү мүмкүн:}

Ошентип, жогорудагы мисалда байланышкан катар 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Аттарынан көрүнүп тургандай, күч катарлары катарлардын өзгөчө түрү болуп саналат жана ал Сандык анализде жана ага байланыштуу математикалык моделдөөдө кеңири колдонулат. Тейлор сериясы - белгилүү функцияларды көрсөтүүнүн альтернативалуу жана башкарууга оңой жолун камсыз кылган атайын кубаттуулук сериясы.

Күч сериясы деген эмне?

Күч сериясы формадагы сериялар

бул c центринде жайгашкан кээ бир интервал үчүн конвергент (мүмкүн). a_{nкоэффициенттери реалдуу же комплекстүү сандар болушу мүмкүн жана хдан көз каранды эмес; б.а. жасалма өзгөрмө.}

Мисалы, ар бир n үчүн a_n=1 жана c=0 коюу менен, кубаттуулук сериясы 1+x+x² +…..+ x^{+… алынды. x ε (-1, 1) болгондо бул даражалык катар 1/(1-x) га жакындай турганын байкоо оңой.}

Даражалык катар x=c болгондо жакындайт. Даража катарлары бириге турган хтын башка маанилери ар дайым c боюнча борборлоштурулган ачык интервал формасын алат. Башкача айтканда, 0≤ R ≤ ∞ мааниси болот, ошондуктан ар бир х канааттандыруучу |x-c|≤ R үчүн даражалык катар конвергенттүү жана ар бир x канааттандыруучу |x-c|> R үчүн даражалык катар дивергенттүү болот. Бул R мааниси даражалык катардын жакындашуу радиусу деп аталат (R каалаган реалдуу маанини же оң чексиздикти ала алат).

Күч катарларын төмөнкү эрежелерди колдонуу менен кошууга, кемитүүгө, көбөйтүүгө жана бөлүүгө болот. Эки кубаттуулук сериясын карап көрүңүз:

Анда,

б.а. сыяктуу терминдер кошулат же кемитет. Ошондой эле,идентификациясын колдонуп эки даражалык катарды көбөйтүүгө жана бөлүүгө болот

Тейлор сериясы деген эмне?

Тейлор катарлары интервалда чексиз дифференциалдануучу f (x) функциясы үчүн аныкталган. f (x) центрде c боюнча болгон интервалда дифференциалдануучу деп эсептейли. Андатарабынан берилген күч сериясы

f (x) функциясынын с жөнүндө Тейлор катар кеңейүүсү деп аталат. (Бул жерде f⁽ⁿ⁾ (c) x=c боюнча n^{th туундуну билдирет). Сандык анализде бул чексиз кеңейүүдө чектүү сандагы терминдер катар баштапкы функцияга жакындаган чекиттердеги маанилерди эсептөөдө колдонулат.}

f (x) функциясы (a, b) интервалында аналитикалык деп аталат, эгерде ар бир x ε (a, b) үчүн f (x) Тейлор катарлары f (x) функциясына жакындаса. x). Мисалы, 1/(1-x) аналитикалык (-1, 1), анткени анын Тейлор кеңейиши 1+x+x²+….+ x ^{+… ошол интервалдагы функцияга жакындайт жана e}x ^{бардык жерде аналитикалык, анткени e}x ^{Тейлор сериясы e} га жакындайт. x ^{ар бир чыныгы сан үчүн x.}

Пауэр сериясы менен Тейлор сериясынын ортосунда кандай айырма бар?

1. Тейлор сериясы - кээ бир ачык интервалда чексиз дифференциалдалуучу функциялар үчүн гана аныкталган күч серияларынын өзгөчө классы.

2. Тейлор сериясы өзгөчө форманы алат

ал эми күч сериясы формадагы каалаган катар болушу мүмкүн