Лаплас жана Фурье трансформациялары
Лаплас трансформациясы да, Фурье трансформациясы да интегралдык трансформация болуп саналат, алар көбүнчө математикалык моделделген физикалык системаларды чечүү үчүн математикалык ыкмалар катары колдонулат. Процесс жөнөкөй. Татаал математикалык модель интегралдык трансформацияны колдонуу менен жөнөкөй, чечилүүчү моделге айландырылат. Жөнөкөй модель чечилгенден кийин, тескери интегралдык трансформация колдонулат, ал баштапкы моделдин чечилишин камсыз кылат.
Мисалы, физикалык системалардын көбү дифференциалдык теңдемелерди пайда кылгандыктан, алар алгебралык теңдемелерге же интегралдык трансформацияны колдонуу менен төмөнкү даражадагы оңой чечилүүчү дифференциалдык теңдемелерге айландырылат. Ошондо маселени чечүү оңой болот.
Лапластын трансформациясы деген эмне?
Чыныгы t өзгөрмөнүн f (t) функциясы берилгенде, анын Лаплас трансформациясы интегралдык [латекс] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- менен аныкталат. st}f(t)dt [/latex] (ал бар болгон сайын), бул s татаал өзгөрмөнүн функциясы. Ал адатта L { f (t)} менен белгиленет. F (s) функциясынын Лапластын тескери трансформациясы f (t) функциясы катары L { f (t)}=F (s) деп кабыл алынат жана кадимки математикалык белгилер боюнча Lдеп жазабыз. -1{ F (s)}=f (t). Эгерде нөл функцияларга уруксат берилбесе, тескери трансформация уникалдуу болушу мүмкүн. Бул экөөнү функция мейкиндигинде аныкталган сызыктуу операторлор катары аныктоого болот, ошондой эле L -1{ L { f (t)}}=f (t), нөл функцияларга уруксат берилбесе.
Төмөнкү таблицада кээ бир кеңири таралган функциялардын Лаплас трансформациялары келтирилген.
Фурье трансформациясы деген эмне?
Чыныгы t өзгөрмөнүн f (t) функциясы берилгенде, анын Лаплас трансформациясы интеграл [латекс] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ менен аныкталат. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (бар болгон учурда) жана адатта F { f менен белгиленет (t)}. Тескери трансформация F -1{ F (α)} интегралдык [латекс] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi менен берилет. }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Фурье трансформациясы да сызыктуу жана функция мейкиндигинде аныкталган оператор катары каралышы мүмкүн.
Фурье трансформациясын колдонуу менен, функцияда үзгүлтүктөрдүн чектүү саны гана болгон жана абсолюттук интегралдалуучу болгон шартта баштапкы функцияны төмөнкүчө жазууга болот.
Лаплас менен Фурье трансформациясынын ортосунда кандай айырма бар?
- f (t) функциясынын Фурье түрлөөсү [латекс] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / катары аныкталат \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ал эми анын лапластык трансформациясы [латекс] F(s)=\\int_{ деп аныкталган. 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Фурье трансформациясы бардык реалдуу сандар үчүн аныкталган функциялар үчүн гана аныкталат, ал эми Лаплас трансформациясы функциянын терс реалдуу сандар топтомунда аныкталышын талап кылбайт.
- Фурье трансформациясы Лаплас трансформациясынын өзгөчө учуру. Бул экөө тең терс эмес реалдуу сандар үчүн дал келерин көрүүгө болот. (б.а. Лапластагы s ды iα + β деп кабыл алыңыз, мында α жана β реалдуу болгондуктан, e β=1/ √(2ᴫ))
- Фурье трансформациясы бар ар бир функцияда Лапластык трансформация болот, бирок тескерисинче эмес.
