Дифференциация жана Туунду
Дифференциалдык эсептөөдө туунду жана дифференциация бири-бири менен тыгыз байланышта, бирок абдан айырмаланат жана функцияларга байланыштуу эки маанилүү математикалык түшүнүктү көрсөтүү үчүн колдонулат.
Туунду деген эмне?
Функциянын туундусу функциянын мааниси киргизилиши өзгөргөн сайын өзгөрүү ылдамдыгын өлчөйт. Көп өзгөрмөлүү функцияларда функциянын маанисинин өзгөрүшү көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн маанилеринин өзгөрүү багытына жараша болот. Демек, мындай учурларда белгилүү бир багыт тандалып, функция ошол конкреттүү багытта дифференцияланат. Ошол туунду багыттуу туунду деп аталат. Жарым-жартылай туундулар - багыттуу туундулардын өзгөчө түрү.
Вектордук функциянын туунду f чек катары аныкталышы мүмкүн [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] чектүү бар жерде. Мурда айтылгандай, бул u векторунун багыты боюнча f функциясынын өсүү ылдамдыгын берет. Бир маанилүү функцияда бул туундунун белгилүү аныктамасына чейин төмөндөтөт, [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Мисалы, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] бардык жерде дифференциалданат жана туунду чекке барабар, [латекс]\\lim_{h \\ 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], бул [латекс]3x^{2}+4[/латекс]ге барабар. [латекс]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] сыяктуу функциялардын туундулары бардык жерде бар. Алар [латекс]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцияларына барабар.
Бул биринчи туунду катары белгилүү. Көбүнчө f функциясынын биринчи туундусу f (1) менен белгиленет. Эми бул белгини колдонуу менен жогорку тартиптеги туундуларды аныктоого болот. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - экинчи тартиптеги багыттуу туунду жана n th туундуну f (n) менен билдирет ар бир n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(n) үчүн -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th туундусун аныктайт.
Диференциация деген эмне?
Дифференциалдоо – дифференциалдануучу функциянын туундусун табуу процесси. D менен белгиленген D-оператор айрым контексттерде дифференциацияны билдирет. Эгерде x көз карандысыз өзгөрмө болсо, анда D ≡ d/dx. D-оператору сызыктуу оператор, б.а. каалаган эки дифференциалдануучу f жана g функциясы жана туруктуу c үчүн төмөнкү касиеттер сакталат.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-операторун колдонуу менен дифференциацияга байланыштуу башка эрежелер төмөнкүчө чагылдырылышы мүмкүн. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 жана D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Мисалы, F(x)=x 2sin x берилген эрежелерди колдонуу менен х боюнча дифференцияланганда, жооп 2 x sin x + xболот. 2cos x.
Дифференциялоо менен туундунун ортосунда кандай айырма бар?• Туунду функциянын өзгөрүү ылдамдыгын билдирет • Дифференциация – функциянын туундусун табуу процесси. |
