Туунду жана дифференциал
Дифференциалдык эсептөөдө функциянын туундусу менен дифференциалы бири-бири менен тыгыз байланышта, бирок такыр башка мааниге ээ жана дифференциалдык функцияларга байланыштуу эки маанилүү математикалык объектти көрсөтүү үчүн колдонулат.
Туунду деген эмне?
Функциянын туундусу функциянын мааниси киргизилиши өзгөргөн сайын өзгөрүү ылдамдыгын өлчөйт. Көп өзгөрмөлүү функцияларда функциянын маанисинин өзгөрүшү көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн маанилеринин өзгөрүү багытына жараша болот. Демек, мындай учурларда белгилүү бир багыт тандалып, функция ошол конкреттүү багытта дифференцияланат. Ошол туунду багыттуу туунду деп аталат. Жарым-жартылай туундулар - багыттуу туундулардын өзгөчө түрү.
Вектордук функциянын туунду f чек катары аныкталышы мүмкүн [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] чектүү бар жерде. Мурда айтылгандай, бул u векторунун багыты боюнча f функциясынын өсүү ылдамдыгын берет. Бир маанилүү функцияда бул туундунун белгилүү аныктамасына чейин төмөндөтөт, [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Мисалы, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] бардык жерде дифференциалданат жана туунду чекке барабар, [латекс]\\lim_{h \\ 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], бул [латекс]3x^{2}+4[/латекс]ге барабар. [латекс]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] сыяктуу функциялардын туундулары бардык жерде бар. Алар [латекс]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцияларына барабар.
Бул биринчи туунду катары белгилүү. Көбүнчө f функциясынын биринчи туундусу f (1) менен белгиленет. Эми бул белгини колдонуу менен жогорку тартиптеги туундуларды аныктоого болот. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - экинчи тартиптеги багыттуу туунду жана n th туундуну f (n) менен билдирет ар бир n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(n) үчүн -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th туундусун аныктайт.
Дифференциал деген эмне?
Функциянын дифференциалы көз карандысыз өзгөрмө же өзгөрмөлөрдөгү өзгөрүүлөргө карата функциянын өзгөрүшүн билдирет. Кадимки белгилер боюнча, бир өзгөрмөлүү x берилген f функциясы үчүн, 1 df тартиптеги толук дифференциал [латекс]df=f^{1}(x)dx[/latex] менен берилет. Бул x (б.а. d x) боюнча чексиз аз өзгөртүү үчүн f (1)(x)d x өзгөрүү болот дегенди билдирет.
Чектөөлөрдү колдонуу төмөнкүдөй аныктама менен аяктайт. ∆ х – бул ыктыярдуу х чекитиндеги х өзгөрүшү жана ∆ f – f функциясынын тиешелүү өзгөрүүсү деп эсептейли. ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ экенин көрсөтсө болот, мында ϵ ката. Эми чек ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (мурда айтылган туунду аныктамасын колдонуу менен) жана ошентип, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Демек, мүмкүн деген жыйынтыкка келгиле, ∆ x→ 0 ϵ=0. Эми ∆ x→ 0 ∆ fди d f жана ∆ x→ 0 ∆ xди d x деп белгилөө менен дифференциалдын аныктамасы катуу алынат.
Мисалы, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] функциясынын дифференциалы [латекс](3x^{2}+4)dx[/латекс].
Эки же андан көп өзгөрмөлүү функциялар болгон учурда функциянын толук дифференциалы көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн ар биринин багыттары боюнча дифференциалдардын суммасы катары аныкталат. Математикалык жактан аны [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] деп айтууга болот..
Туунду жана дифференциалдык ортосунда кандай айырма бар?
• Туунду функциянын өзгөрүү ылдамдыгын билдирет, ал эми дифференциал көз карандысыз өзгөрмө өзгөрүүгө дуушар болгондо функциянын иш жүзүндө өзгөрүшүн билдирет.
• Туунду [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ менен берилген h}[/latex], бирок дифференциал [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] менен берилет.
