Арифметикалык ырааттуулук менен геометриялык ырааттуулуктун ортосундагы айырма

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-17 23:39

Арифметикалык ырааттуулук жана геометриялык ырааттуулук

Сандардын үлгүлөрүн жана алардын жүрүм-турумун изилдөө математика тармагындагы маанилүү изилдөө болуп саналат. Көбүнчө бул моделдерди табиятта көрүүгө болот жана алардын жүрүм-турумун илимий көз карашта түшүндүрүүгө жардам берет. Арифметикалык тизмектер жана геометриялык ырааттуулуктар сандарда кездешүүчү жана көбүнчө табият кубулуштарында кездешүүчү негизги үлгүлөрдүн экөөсү.

Тертиптүү сандардын жыйындысы. Кезектеги элементтердин саны чектүү же чексиз болушу мүмкүн.

Арифметикалык ырааттуулук (Арифметриялык прогрессия) жөнүндө көбүрөөк маалымат

Арифметикалык ырааттуулук ар бир ырааттуу мүчөнүн ортосунда туруктуу айырмасы бар сандардын ырааттуулугу катары аныкталат. Ал арифметикалык прогрессия катары да белгилүү.

Арифметикалык ырааттуулук ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; мында a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, жана башкалар.}

Эгер баштапкы мүчө a₁ болсо жана жалпы айырма d болсо, анда ырааттуулуктун n^{th мүчөсү берилет;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Жогорудагы жыйынтыкты андан ары алып чыгуу менен, n^{th терминди ошондой эле берүүгө болот;}

a_n =a_m + (n-m)d, мында a_{m кокустук термин n > м. болгон ырааттуулукта}

Жуп сандардын жана так сандардын жыйындысы арифметикалык тизмектердин эң жөнөкөй мисалдары болуп саналат, мында ар бир ырааттуулуктун жалпы айырмасы (d) 2.

Бир катардагы терминдердин саны чексиз же чектүү болушу мүмкүн. Чексиз учурда (n → ∞) катар жалпы айырмага жараша чексиздикке умтулат (a_{n → ±∞). Эгерде жалпы айырма оң болсо (d > 0), ырааттуулук оң чексиздикке, ал эми жалпы айырма терс болсо (d < 0) терс чексиздикке умтулат. Эгер шарттар чектүү болсо, ырааттуулук да чектүү.}

Арифметикалык катардагы терминдердин суммасы арифметикалык катар катары белгилүү: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{жана S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] маанисин берет серия (S}n)

Геометриялык ырааттуулук (Геометриялык прогрессия) жөнүндө көбүрөөк маалымат

Геометриялык ырааттуулук каалаган эки ырааттуу мүчөнүн бөлүгү туруктуу болгон ырааттуулук катары аныкталат. Бул геометриялык прогрессия деп да белгилүү.

Геометриялык ырааттуулук ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; мында a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r жана башкалар, мында r чыныгы сан.}

Жалпы катыш (r) жана баштапкы мүчө (a) аркылуу геометриялык ырааттуулукту көрсөтүү оңой. Демек, геометриялык ырааттуулук ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

aⁿ =a₁r тарабынан берилген n_th терминдердин жалпы формасы ^n-1. (Баштапкы терминдин жазылуусу жоголду ⇒ a_n =ar^n-1)

Геометриялык ырааттуулук да чектүү же чексиз болушу мүмкүн. Эгерде мүчөлөрдүн саны чектүү болсо, тизмек чектүү деп аталат. Ал эми терминдер чексиз болсо, r катышына жараша тизмек чексиз же чектүү болушу мүмкүн. Жалпы катыш геометриялык тизмектердеги көптөгөн касиеттерге таасирин тийгизет.

r > o	0 < r < +1	Сиздик жакындайт – экспоненциалдык ажыроо, б.а. an → 0, n → ∞
	r=1	Туруктуу ырааттуулук, б.а. an=туруктуу
	r > 1	Тартип айырмаланат – экспоненциалдык өсүү, б.а. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Теремет термелүү, бирок биригет
	r=1	Издашуу алмашып турат жана туруктуу, б.а. an=±туруктуу
	r < -1	Ызыгуу алмашып турат жана айырмаланат. б.а. an → ±∞, n → ∞
r=0	Издик нөлдөрдүн саптары

Н. Б: Жогорудагы бардык учурларда, a₁ > 0; эгерде a₁ < 0, a_{n менен байланышкан белгилер тескери болот.}

Топтун секирүүлөрү ортосундагы убакыт аралыгы идеалдуу моделдеги геометриялык ырааттуулукту ээрчийт жана бул конвергенттик ырааттуулук.

Геометриялык катардын мүчөлөрүнүн суммасы геометриялык катар катары белгилүү; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Геометриялык катарлардын суммасын төмөнкү формула менен эсептесе болот.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); мында a - баштапкы мүчө жана r - катыш.}

Эгер катыш, r ≤ 1 болсо, катар жакындайт. Чексиз катар үчүн конвергенциянын мааниси S_{n=a/(1-r) менен берилет.}

Арифметикалык жана геометриялык ырааттуулук/прогрессиянын ортосунда кандай айырма бар?

• Арифметикалык тизмекте катар келген эки мүчө жалпы айырмага (d) ээ, ал эми геометриялык ырааттуулукта эки катар мүчөнүн туруктуу бөлүгү (r) болот.

• Арифметикалык тизмекте мүчөлөрдүн вариациясы сызыктуу, башкача айтканда, бардык чекиттер аркылуу түз сызык тартууга болот. Геометриялык катарда вариация экспоненциалдуу болот; жалпы катышка жараша өсүп же чирип баратат.

• Бардык чексиз арифметикалык тизмектер дивергенттүү, ал эми чексиз геометриялык катарлар дивергент же жакындашуу болушу мүмкүн.

• Эгерде r катышы терс болсо, арифметикалык катар термелүүнү көрсөтпөсө, геометриялык катар термелүүнү көрсөтө алат