Ортогоналдык vs Ортонормаль
Математикада ортогоналдык жана ортонормалуу деген эки сөз векторлордун жыйындысы менен бирге көп колдонулат. Бул жерде "вектор" термини ал вектордук мейкиндиктин элементи - сызыктуу алгебрада колдонулган алгебралык структура деген мааниде колдонулат. Талкуулоо үчүн биз ички продукт мейкиндигин – V вектордук мейкиндигин V жана V боюнча аныкталган ички продукт менен карайбыз.
Мисалы катары, ички продукт үчүн мейкиндик - бул кадимки чекит көрсөткүчү менен бирге бардык 3 өлчөмдүү позиция векторлорунун жыйындысы.
Ортогоналдык деген эмне?
Ички продукт мейкиндигинин V бош эмес S ички көптүгү ортогоналдык деп аталат, эгерде S ичиндеги ар бир айырмаланган u, v үчүн, [u, v]=0 болгондо гана; б.а. u жана v ички көбөйтүндүсү ички продукт мейкиндигиндеги нөл скалярга барабар.
Мисалы, бардык 3 өлчөмдүү позиция векторлорунун жыйындысында бул S, p жана q позициясынын векторлорунун ар бир айырмаланган жуптары үчүн, p жана q бири-бирине перпендикуляр деп айтууга барабар. (Бул вектордук мейкиндиктин ички көбөйтүндүсү чекиттүү көбөйтүндү экенин унутпаңыз. Ошондой эле, эки вектордун чекиттүү көбөйтүндүсү 0гө барабар, эгерде эки вектор бири-бирине перпендикуляр болсо гана.)
3 өлчөмдүү позиция векторлорунун кичи жыйындысы болгон S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} көптүгүн карап көрөлү. (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0) экенин байкаңыз., 5)=0. Демек, S көптүк ортогоналдык. Атап айтканда, эки вектор ортогоналдык деп аталат, эгерде алардын ички көбөйтүндүсү 0 болсо. Демек, Sis ортогоналдык векторлорунун ар бир жубу.
Ортонормалуу деген эмне?
Ички көбөйтүлгөн V мейкиндигинин бош эмес S ички көптүгү ортонормалуу деп аталат, эгерде S ортогоналдуу болсо жана S ичиндеги ар бир u вектору үчүн, [u, u]=1. Демек, муну көрүүгө болот. ар бир ортонормалык көптүк ортогоналдык, бирок тескерисинче эмес.
Мисалы, бардык 3 өлчөмдүү позиция векторлорунун жыйындысында бул S ичиндеги p жана q позиция векторлорунун ар бир айырмаланган жуптары үчүн, p жана q бири-бирине перпендикуляр деп айтууга барабар, ал эми ар бир p S, |p|=1. Себеби [p, p]=1 шарты p.p=|p||p|cos0=|p|2=1ге төмөндөйт, бул |pге барабар. |=1. Демек, ортогоналдык көптүктү эске алуу менен, ар бир векторду анын чоңдугуна бөлүү аркылуу ар дайым тиешелүү ортонормалык көптүктү түзө алабыз.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} - бардык 3 өлчөмдүү позиция векторлорунун топтомунун ортонормалуу ички жыйындысы. Ал S топтомундагы векторлордун ар бирин чоңдуктарына бөлүүдөн алынганын көрүү оңой.
Ортогоналдык менен ортонорманын ортосунда кандай айырма бар?
- Ички продукт мейкиндигинин V бош эмес S ички көптүгү ортогоналдык деп аталат, эгерде S ичиндеги ар бир айырмаланган u, v үчүн, [u, v]=0 болгондо гана. кошумча шарт болгондо гана – S ичиндеги ар бир u вектору үчүн [u, u]=1 аткарылса.
- Бардык ортонормалык көптүк ортогоналдык, бирок тескерисинче эмес.
- Бардык ортогоналдык топтом уникалдуу ортонормалык көптүккө туура келет, бирок ортонормалуу көптүк көптөгөн ортогоналдык көптүктөргө туура келиши мүмкүн.
